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面對錯誤--唐宗浩2006.7.1

人非電腦,孰能無過?知過能改,善莫大焉。

『不犯錯』是賽場的美德,並非文明進步的動力。愛迪生嘗試了1600多次耐熱材料和600多種植物纖維,才找到適合的電燈材料。如果用現在的考試計分法,他的錯誤率如此之高,應該連一分都拿不到。可是那一次的成功,就是建立在無數次的失敗上。

同樣的,數學家能發現新定理,並非因為他們『不犯錯』,恰好是因為『勇於嘗試、勇於犯錯』!

必須放下『錯誤代表差勁』的成見,才能將錯誤當成啟發的契機。重點不是不犯錯,而是當出錯時要能察覺到,並修正腳步,從錯誤中學習。

數學常見的解題錯誤大至可分為三類,包含閱讀錯誤、計算錯誤、觀念錯誤。

閱讀錯誤是指沒有看清楚問題,造成的錯誤。如果題目要算8的開立方,但是寫的人看成8的開平方,當然後面都會錯。這跟觀念與計算都無關。如果常犯閱讀錯誤,可以練習多看一遍等閱讀技巧。

在解一元一次方程式的應用問題時常會出現另一種閱讀錯誤,即難以把文字敘述轉譯為方程式。這類轉譯的困難一直到大學仍會出現,可以視為一種特別的技巧來訓練。像方程式的應用問題轉譯的步驟通常如下:先讀懂題目的意義->設未知數->將敘述寫成方程式。

例1:父親的年齡是女兒的兩倍半,兩人加起來63歲。請問他們各幾歲?
請問他們各幾歲? --->
設父親的年齡為x、女兒的年齡y,解x、y
『父親的年齡是女兒的兩倍半』 ---> x = 2.5*y
『兩人加起來63歲』 ---> x+y = 63

例2:for any epsilon > 0, there esists delta > 0, 0 <
|x-a| < delta ===> |f(x) - L| < epsilon

這是極限的抽象定義,對剛學微積分的人來說很困難,所以需要轉譯成有意義的東西,將它具體化。

像是:f(x)可以非常靠近L,要多近(epsilon)都可以,只要x足夠(delta)靠近a(但不碰到a)。

這都是轉譯上的困難。就像語言一樣,用熟就會順。

計算錯誤是指抄寫符號的時候出錯,或是簡單的運算算錯,差個正負號等等。這類的錯誤在一般學校會被扣分扣得很重,但它和數學思維也沒有關係,聰明人可能更會粗心。我是常犯計算錯誤的,但這不妨礙我對數學概念能有透徹的瞭解和靈活的運用。

例3:求388*729
如果會直式乘法,這個問題並不困難。如果只算這一題,還是算錯,那大概有觀念問題,或是不懂直式的計算。但是這種問題出個20題,只算錯其中一兩題,就一點也不嚴重了。給我3位數的乘法20題,除非刻意小心,也難保不會算錯。

例4:求1 2 3 4 5 1
     6 7 8 9 5 2
     4 3 5 4 6 3
     2 3 5 4 3 4
     3 1 1 1 3 3
     1 3 7 8 9 2
     的行列式值。
6階行列式,這會算到瘋掉!就算能算出來也很難不出錯。如果算出來還不出錯的人,可說是很細心了。但是,它不能提高對數學的理解,而且交給電腦算只要一秒鐘不到。像這類手算6階行列式的問題,除了折磨人外,有何意義?沒有。

不過,太多計算錯誤也有不良影響,因為要花多餘的時間來除錯,剝奪花在重要部份的時間。因此,我認為,不必要求不算錯,也不必過於指責計算錯誤,計算錯誤往往沒有想像中的嚴重。如果它真的造成不便,可以發展一些除錯技巧。

我的除錯技巧是這樣的:因為我常常跳躍思考,一次想好幾個步驟,這對理解是好事,但計算時就容易出錯,所以我不想錯時就得不厭其煩地一個步驟一個步驟來寫,而且要一行一行寫,出錯時就能隨時回去找。

但是,在小學和國中,我鮮少使用這個技巧。我認為刻意小心是有害思維的,因為思考的度速被限制,就像腳踏車故意騎慢一樣,很彆扭。

觀念錯誤代表真正的問題。如果先備知識不全、概念不清,當然無法良好解題。面對觀念錯誤,應把焦點從題目拿開,回到相應的觀念,澄清後再回到題目,或先以較簡單的題目當中介。

例3:有一個正方形。請畫出一個面積是它的兩倍的正方形,並請問大正方形的邊長是小正方形的幾倍?
如果寫的人不知道什麼是面積,他可能會畫一個邊長是兩倍的正方形,當然就不對了。

例4:賽局理論中的囚犯兩難問題。若你是囚犯A,招供還是不招?
我遇過有人看著報酬矩陣,選招供,但是理由是:招的可能報酬總和高於不招。答案對,可是理由是錯的!這種也是觀念錯誤。遇到這種問題時,若要指正他,可以用另一個相似的題目,使他的推論方式會得到錯的結果(術語叫『舉反例』)。舉了反例之後,籍此引入正確的概念,就容易被接受了。特別注意,舉反例不是為了嘲笑他不成熟的想法,而是透過辨證的過程,來進一步探求知識。

國高中生常有背錯公式的問題,我認為這也是觀念錯誤。因為沒有弄懂公式背後的道理,硬背它當然很吃力。其實就連國中最難的一元二次公式解,也可以自己花幾分鐘就對著課本重新導一遍。導過一遍之後,瞭解公式背後的道理(術語叫『證明』),就不容易遺忘,忘了也能重導。

觀念錯誤是一個辨證的開始,澄清的過程不是強硬的說服,而是概念的討論、證明和舉反例,通常要扮隨幾道簡單的題目才能具體踏實。

原則是:事情從會的人的角度來看,和從不會的人的角度來看是很不一樣的,講得人覺得清楚,聽的人未必明白。在指導的過程,應留意小孩目前的立足點,由他的已知當基礎,推向未知。很多家長或老師一開始會忽略這點,以致雞同鴨講。我也有過這樣的經驗。

最後,我在本文和〈思維與知識〉中談論的教學理想,是我正在邁進的道路。雖然方向如此,目前離達到還有一段距離,只是這個方向我認為是好的,也是可行的,所以拿出來和大家分享交流。

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