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思維與知識--唐宗浩

在數學上,『思維比知識重要』是我一直以來的觀點。因為如果人有好的思維,要去充實知識就事半功倍;但空有未經消化的知識,要從中培養出好的思維並不容易。

 

一個有不錯的數學思維的人,往往敢於思考提問、發現不同事物中的共同點、建構抽象的模型來解決問題、透過邏輯推理來獲得結論。

 

但是,目前的中學(和部份小學)教育,並不重視思維。在這個系統下,許多高分者,是『有組織的記憶庫』,但是對於範圍外的問題,他就無法創造新的模式來解決問題。

 

這些空有知識的人,很可能不懂得如何運用。一旦缺乏內化、彈性和創造,這些知識就死了。

 

像『某數除以分數 =某數乘以該分數的倒數』是小學分數運算常用的法則,但是依我的非正式估計,約有九成的小學畢業生,無法解釋為什麼這個法則是對的。『三角形內角和=180度』這個定理也是一樣。就連理學院的大學生,也不乏難以解釋為何『負負得正』者。

 

也就是說,我們學了一堆知識,卻不知道它們為什麼是對的?在數學思惟上這很要命。所以講解是必要的,不能讓學生把知識當成迷信。

 

就像學歷史,如果只記一堆事件的年份、人名地名,卻不懂中間的脈絡、無法站在不同的時間尺角度來看事情,那學歷史有何用?

 

因此,我認為『思維比知識重要』。要有個主從之分,才不會捨本逐末。

 

現在再看看知識。其實知識也很重要。活的知識不只能當工具使用,也是深入學習的基礎。缺乏知識的基礎,就像不懂語言一般,思維必受到局限。

 

當興趣和學習習慣已經建立,為了讓思維有更深更廣的探觸,深而廣的知識學習是必要的。若缺乏挑戰,容易使人因乏味而降低動力。因此,我不認為重視思維的教學一定要簡單、淺顯。淺嚐即止反而無趣。只是每個人的胃口可能不太一樣,有些人需要很深的東西才能滿足,有些人則有一些深就夠了、太深反而不能理解。

 

總之,『由淺』雖然重要,『入深』亦不可或缺。對思維有益的『入深』並不是用一堆繁雜的題目來鑽牛角尖、消耗才智,而是真正接觸到學問的美、具威力與巧思的部份、能撼動人心的部份。

 

最後回到本文開始時的問題:
1. 傳授知識的過程是不是一定對培養思維有幫助?
不一定。缺乏理解、組織、再創造的知識,可能反而有礙彈性的思維。


2. 重視思維的教學是不是一定要簡單、淺顯?
不一定。雖然開始的時候以趣味為重,應該簡單、淺顯,但之後由淺入深是必要的,否則思維將停留在較初級的狀態。


3. 如果大考只考知識,那思維有什麼用?
就算從最功利的角度來看,思維會影響未來學習、記憶和運用知識的效率,屬經濟學上的『資本財』,能提高未來的生產力。一開始投資於『資本財』顯然有較大的長期利益。『平日認真治學,大考前再備考』是最有效益的搭配。
但是我不喜歡這個角度。從我的角度來看,治學是一輩子的事,考試只是一時。就算考上了不錯的學校,沒有治學能力,還是不行。


4. 如何培養思維?
要培養良好的數學思維,除了策略遊戲、書籍之外,常去討論問題是很好的(不限於數學問題)。傳授知識的過程中,要儘量解釋知識背後的道理,重視小孩的疑問和獨特的觀點,避免『就是這樣』的武斷態度。

此外,充份的挑戰是重要的。有挑戰的東西才有成就感,才會激勵人去下功夫。
 

最後,不要過度遣責錯誤。數學上,思維良好並不保證不會犯錯。相反地,很可能透過嘗試錯誤來累積經驗。關於錯誤,我將在另一篇文章中,作更詳細的討論。

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