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一些非數學的數學思考--唐宗浩

第一,數學不是一種發明來刁難人的東西;而是以簡御繁,化繁為簡的方便法門。

第二,數學不是只有聰明人才學得會的東西;而是一種學了會讓人變聰明的東西。(當然,被迫用錯誤的方式學,也可能愈學愈糊塗)

第三,數學不是只處理抽象事物,與現實無關的東西;而是透過處理抽象事物,居高臨下,來更深、更廣地處理現實的東西。

第四,數學不只是一堆前人留下的厚重遺產;還是自己理解、組織、運用這些遺產的方式;偶而點綴些自己的創見。

 

數學與生活有什麼關係呢?

第一,生活中,舉凡道路橋樑、手機話筒、電腦電視,無一不是數學的應用。現代社會中,交易、保險、儲蓄、流程管理、賭搏下注,都用得到數學。數學的應用可說無所不至。

第二,自然界的現象,上至天文,下至地理,皆可以數學模型來描述。水波、彈簧和發電機,都可用sin、cos表示;蛛網、懸線,脫不了自然常數e;更有甚者,我們所處真實的四維時空裡,竟存在虛數角度!數學是認識世界本質的一扇窗,是科學的核心之一。

第三,遊戲的策略,到生活的藝術,都是一個接一個的判斷、選擇,而用來判斷的理性,則可透過數學活動來磨練。數學是訓練理性思辨的良法。

第四,可以瞭解統計。舉凡民意調查、心理測驗、基本學測等等,都牽涉到統計的概念。若不瞭解一點統計,無法正確地看待統計量數,很可能被誤導。

第五,數學的主題是抽象的事物。在數學領域的學習、思索、創造,有助於人脫離唯物主義和虛無主義的桎梏,提升超越的思想,相信客觀的真理。

第六,數學能延伸人的視野,由近及遠、由淺入深。像以0、負數、有理數乃至實數作為指數;廣義角的三角函數;二次方程的根延伸到虛數;連續統的勢不可數;無窮與極限……

 

數學的趣味何在?

第一,從原本看似複雜的問題中,抽出足以統攝全局的秩序時,便可感覺到數學的威力與趣味。如七橋問題、鋪地磚等等,洞察到問題的核心,就能迎刃而解。

第二,猜想的洞察與證明的嚴密。像歐幾里德證明質數無窮的方法就是很好的例子。但是猜想與證明牽涉到數學中的創造、思考實驗,不能光靠閱讀,得自己去嘗試錯誤、下一些苦功才好玩、才體會得出來。

第三,解題如冒險。好的題目深而不繁,簡而不虛,確能讓人解完後有經歷一場冒險的成就感。

 

如何體驗數學經驗呢?

第一,保持頭腦的靈活。可以在任何需要動腦的領域中,去發揮自己,讓頭腦靈活。一再重覆既定的模式,不再思考的時候,很難學好數學。

第二,透過策略性高的遊戲。有些遊戲,像搶三十和畫圈叉,有簡單的數學模型可直接解決;許多複雜的策略遊戲,像圍棋和魔法牌,雖然沒有簡單的數學模型可處理,但進步的過程,其實就是不斷地實驗、歸納、猜想,是很有價值的。

第三,用數學的角度去思索問題。所謂學而不思則惘,學而思則能有組織,活背比死背有效。可是要思什麼?怎麼思?很簡單的一個方法是多問『為什麼』和『有什麼用』。畢式定理為什麼是對的?二次方程式有什麼用?等等...自己思索也問別人,這樣進步會很快。生活上的問題,像時間管理,也可用數學的角度去思考,當有助益。

 

如何學習數學知識呢?

第一,透過並進的『學、思、習、問』來學習知識本身。這點應該沒什麼問題。

第二,從「發生」的角度學習。一是歷史的角度,二是它所處理的「原始問題」。一系列的知識,一定有一個(或一系列)原始問題,透過對原始問題的探討,抽象之後,才成為一門數學。

第三,從「應用」的角處學習。抽象後得到的規律,如何活用於解決具體問題,也是很重要的。舉例而言,學三角學不能不談測量。其實,由測量切入三角學,同時兼具「應用」與「發生」,因為歷史上三角學也確是用來量天度地的。

第四,有機連結。建立知識與知識、知識與經驗間的關係。舉例而言,三角函數來自畢式定理,畢式定理又可用乘法公式加以證明;乘法公式不過是小學生就會的分配律立之特殊化,而分配律只涉及乘法和加法。另外,瞭解它在物理學中的應用及實地測量的活動,從縱向和橫向兩條線來看,三角函數及其定理也就沒那麼抽象難懂了。

 

我認為,透過教數學,能傳授的是什麼?

第一,知識本身。

第二,看世界的方法。

第三,治學之道。

第四,互助合作。

 

結語

第一,條條大路通羅馬,數學為大路之一,如果不是必要的話,也非常重要。不會數學也能好好活著,但會了數學會活得更好,面對問題時能想得更周到、更透徹,也不易被數字所誤導。

第二,數學處理的對象純粹、永恆,在變動的世界中尋找不變,因此很美。

第三,數學知識只進不退,不斷累積,因此學生數年間要學完十來個世紀人類智力的結晶,大是不易。因此,知識本身未必需要如此濃縮,保留味道比較重要。過度練習、捨本逐末的方式,往往使學生對數學倒盡胃口,終歸無益。

第四,有許多問題是數學所不能(至少目前為止)解決,甚至處理的;對此,應該採用別的方法。數學是一種看世界的好方法,但不是唯一的。知道它的局限,避免過度膨脹它在社會人文學門的應用,比較誠實。

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